{l}{3x+5y=10}{2x-y=5} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 10 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

$$y=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+5y=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$3x=-5y+10$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+10\right)$$

\frac{1}{3}'ны -5y+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-5y+10}{3} куегыз, 2x-y=5.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=5$$

2'ны \frac{-5y+10}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}-y=5$$

-\frac{10y}{3}'ны -y'га өстәгез.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{20}{3}=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{20}{3} алыгыз.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{13}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{5}{13}$$

\frac{5}{13}'ны y өчен x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{13}+\frac{10}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{5}{3}'ны \frac{5}{13} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{10}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{10}{3}'ны -\frac{25}{39}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{35}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 10+\frac{5}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 10-\frac{3}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

3x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 10,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5$$

Гадиләштерегез.

$$6x+10y=20,6x-3y=15$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x-3y=15'ны 6x+10y=20'нан алыгыз.

$$6x-6x+10y+3y=20-15$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$10y+3y=20-15$$

10y'ны 3y'га өстәгез.

$$13y=20-15$$

20'ны -15'га өстәгез.

$$13y=5$$

Ике якны 13-га бүлегез.

$$y=\frac{5}{13}$$

\frac{5}{13}'ны y өчен 2x-y=5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x-\frac{5}{13}=5$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{5}{13} өстәгез.

$$2x=\frac{70}{13}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{35}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$