{l}{3x+4y=85}{x+y=25} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 85 } \\ { x + y = 25 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=15$$

$$y=10$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+4y=85$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$3x=-4y+85$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+85\right)$$

\frac{1}{3}'ны -4y+85 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-4y+85}{3} куегыз, x+y=25.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}+y=25$$

-\frac{4y}{3}'ны y'га өстәгез.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{85}{3}=25$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{85}{3} алыгыз.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Ике якны -3-га тапкырлагыз.

$$y=10$$

10'ны y өчен x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\times 10+\frac{85}{3}$$

-\frac{4}{3}'ны 10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-40+85}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{85}{3}'ны -\frac{40}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=15$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=15,y=10$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{3}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85+4\times 25\\85-3\times 25\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=15,y=10$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

3x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$3x+4y=85,3x+3y=3\times 25$$

Гадиләштерегез.

$$3x+4y=85,3x+3y=75$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 3x+3y=75'ны 3x+4y=85'нан алыгыз.

$$3x-3x+4y-3y=85-75$$

3x'ны -3x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 3x һәм -3x шартлар кыскартылган.

$$4y-3y=85-75$$

4y'ны -3y'га өстәгез.

$$y=85-75$$

85'ны -75'га өстәгез.

$$y=10$$

10'ны y өчен x+y=25'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+10=25$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10 алыгыз.

$$x=15$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=15,y=10$$