{l}{3x+4y=3}{8x+7y=14} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+4y=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$3x=-4y+3$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

\frac{1}{3}'ны -4y+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{4y}{3}+1 куегыз, 8x+7y=14.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

8'ны -\frac{4y}{3}+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

-\frac{32y}{3}'ны 7y'га өстәгез.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8 алыгыз.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{11}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{18}{11}$$

-\frac{18}{11}'ны y өчен x=-\frac{4}{3}y+1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{4}{3}'ны -\frac{18}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

1'ны \frac{24}{11}'га өстәгез.

$$x=\frac{35}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

3x һәм 8x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

Гадиләштерегез.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 24x+21y=42'ны 24x+32y=24'нан алыгыз.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

24x'ны -24x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 24x һәм -24x шартлар кыскартылган.

$$32y-21y=24-42$$

32y'ны -21y'га өстәгез.

$$11y=24-42$$

24'ны -42'га өстәгез.

$$11y=-18$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$y=-\frac{18}{11}$$

-\frac{18}{11}'ны y өчен 8x+7y=14'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

7'ны -\frac{18}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{126}{11} өстәгез.

$$8x=\frac{280}{11}$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{35}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$