{l}{3x+4y=1}{2x+3y=-1} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=7$$

$$y=-5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+4y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$3x=-4y+1$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

\frac{1}{3}'ны -4y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-4y+1}{3} куегыз, 2x+3y=-1.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

2'ны \frac{-4y+1}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{2}{3}+3y=-1$$

-\frac{8y}{3}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}=-1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{2}{3} алыгыз.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Ике якны 3-га тапкырлагыз.

$$y=-5$$

-5'ны y өчен x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3}'ны -5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{3}'ны \frac{20}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=7$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=7,y=-5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-4\left(-1\right)\\-2+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=7,y=-5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

3x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3x+2\times 4y=2,3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

Гадиләштерегез.

$$6x+8y=2,6x+9y=-3$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+9y=-3'ны 6x+8y=2'нан алыгыз.

$$6x-6x+8y-9y=2+3$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$8y-9y=2+3$$

8y'ны -9y'га өстәгез.

$$-y=2+3$$

2'ны 3'га өстәгез.

$$-y=5$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$y=-5$$

-5'ны y өчен 2x+3y=-1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

3'ны -5 тапкыр тапкырлагыз.

$$2x-15=-1$$

Тигезләмәнең ике ягына 15 өстәгез.

$$2x=14$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=7$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=7,y=-5$$