{l}{3x+2y=87}{5x+6y=187} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+2y=87$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$3x=-2y+87$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

\frac{1}{3}'ны -2y+87 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{2y}{3}+29 куегыз, 5x+6y=187.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

5'ны -\frac{2y}{3}+29 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

-\frac{10y}{3}'ны 6y'га өстәгез.

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 145 алыгыз.

$$\frac{8}{3}y=42$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{8}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{63}{4}$$

\frac{63}{4}'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+29'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{2}{3}'ны \frac{63}{4} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

29'ны -\frac{21}{2}'га өстәгез.

$$x=\frac{37}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

3x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

Гадиләштерегез.

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+18y=561'ны 15x+10y=435'нан алыгыз.

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$10y-18y=435-561$$

10y'ны -18y'га өстәгез.

$$-8y=435-561$$

435'ны -561'га өстәгез.

$$-8y=-126$$

Ике якны -8-га бүлегез.

$$y=\frac{63}{4}$$

\frac{63}{4}'ны y өчен 5x+6y=187'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

6'ны \frac{63}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{189}{2} алыгыз.

$$5x=\frac{185}{2}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{37}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$