{l}{3x+2y=5}{2x-y=-3} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { 2 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+2y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$3x=-2y+5$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

\frac{1}{3}'ны -2y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-2y+5}{3} куегыз, 2x-y=-3.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=-3$$

2'ны \frac{-2y+5}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-y=-3$$

-\frac{4y}{3}'ны -y'га өстәгез.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}=-3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{10}{3} алыгыз.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{19}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{7}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{19}{7}$$

\frac{19}{7}'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{19}{7}+\frac{5}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{2}{3}'ны \frac{19}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{38}{21}+\frac{5}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{3}'ны -\frac{38}{21}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5+\frac{2}{7}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

3x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right)$$

Гадиләштерегез.

$$6x+4y=10,6x-3y=-9$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x-3y=-9'ны 6x+4y=10'нан алыгыз.

$$6x-6x+4y+3y=10+9$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$4y+3y=10+9$$

4y'ны 3y'га өстәгез.

$$7y=10+9$$

10'ны 9'га өстәгез.

$$7y=19$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$y=\frac{19}{7}$$

\frac{19}{7}'ны y өчен 2x-y=-3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x-\frac{19}{7}=-3$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{19}{7} өстәгез.

$$2x=-\frac{2}{7}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$