{l}{3x+2y=32}{-x+3y=15} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { - x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=6$$

$$y=7$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+2y=32$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$3x=-2y+32$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

\frac{1}{3}'ны -2y+32 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-2y+32}{3} куегыз, -x+3y=15.

$$-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15$$

-1'ны \frac{-2y+32}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15$$

\frac{2y}{3}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{32}{3} өстәгез.

$$\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{11}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=7$$

7'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}$$

-\frac{2}{3}'ны 7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-14+32}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{32}{3}'ны -\frac{14}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=6$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=6,y=7$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=6,y=7$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

3x һәм -x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15$$

Гадиләштерегез.

$$-3x-2y=-32,-3x+9y=45$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -3x+9y=45'ны -3x-2y=-32'нан алыгыз.

$$-3x+3x-2y-9y=-32-45$$

-3x'ны 3x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -3x һәм 3x шартлар кыскартылган.

$$-2y-9y=-32-45$$

-2y'ны -9y'га өстәгез.

$$-11y=-32-45$$

-32'ны -45'га өстәгез.

$$-11y=-77$$

Ике якны -11-га бүлегез.

$$y=7$$

7'ны y өчен -x+3y=15'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-x+3\times 7=15$$

3'ны 7 тапкыр тапкырлагыз.

$$-x+21=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 21 алыгыз.

$$-x=-6$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$x=6$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=6,y=7$$