{l}{3x+2y=27}{10x+2y=36} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 27 } \\ { 10 x + 2 y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

$$y = \frac{81}{7} = 11\frac{4}{7} \approx 11.571428571$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+2y=27,10x+2y=36$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+2y=27$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$3x=-2y+27$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+27\right)$$

\frac{1}{3}'ны -2y+27 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+9$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{2y}{3}+9 куегыз, 10x+2y=36.

$$10\left(-\frac{2}{3}y+9\right)+2y=36$$

10'ны -\frac{2y}{3}+9 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{20}{3}y+90+2y=36$$

-\frac{20y}{3}'ны 2y'га өстәгез.

$$-\frac{14}{3}y+90=36$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 90 алыгыз.

$$-\frac{14}{3}y=-54$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{14}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{81}{7}$$

\frac{81}{7}'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+9'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{81}{7}+9$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{2}{3}'ны \frac{81}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{54}{7}+9$$

9'ны -\frac{54}{7}'га өстәгез.

$$x=\frac{9}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{9}{7},y=\frac{81}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+2y=27,10x+2y=36$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\10&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\10&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\10&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\10&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\10&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\36\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\10&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\36\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\10&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-2\times 10}&-\frac{2}{3\times 2-2\times 10}\\-\frac{10}{3\times 2-2\times 10}&\frac{3}{3\times 2-2\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\36\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\36\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 27+\frac{1}{7}\times 36\\\frac{5}{7}\times 27-\frac{3}{14}\times 36\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\\\frac{81}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{9}{7},y=\frac{81}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+2y=27,10x+2y=36$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x+2y=36'ны 3x+2y=27'нан алыгыз.

$$3x-10x+2y-2y=27-36$$

2y'ны -2y'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2y һәм -2y шартлар кыскартылган.

$$3x-10x=27-36$$

3x'ны -10x'га өстәгез.

$$-7x=27-36$$

27'ны -36'га өстәгез.

$$-7x=-9$$

Ике якны -7-га бүлегез.

$$x=\frac{9}{7}$$

\frac{9}{7}'ны x өчен 10x+2y=36'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$10\times \frac{9}{7}+2y=36$$

10'ны \frac{9}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{90}{7}+2y=36$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{90}{7} алыгыз.

$$2y=\frac{162}{7}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=\frac{81}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{9}{7},y=\frac{81}{7}$$