{l}{3x+2y=11}{4x+9y=117} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 11 } \\ { 4 x + 9 y = 117 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{135}{19} = -7\frac{2}{19} \approx -7.105263158$$

$$y = \frac{307}{19} = 16\frac{3}{19} \approx 16.157894737$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+2y=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$3x=-2y+11$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+11\right)$$

\frac{1}{3}'ны -2y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-2y+11}{3} куегыз, 4x+9y=117.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}\right)+9y=117$$

4'ны \frac{-2y+11}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{44}{3}+9y=117$$

-\frac{8y}{3}'ны 9y'га өстәгез.

$$\frac{19}{3}y+\frac{44}{3}=117$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{44}{3} алыгыз.

$$\frac{19}{3}y=\frac{307}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{19}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{307}{19}$$

\frac{307}{19}'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{307}{19}+\frac{11}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{2}{3}'ны \frac{307}{19} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{614}{57}+\frac{11}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{11}{3}'ны -\frac{614}{57}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{135}{19}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 9-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 9-2\times 4}&\frac{3}{3\times 9-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}\times 11-\frac{2}{19}\times 117\\-\frac{4}{19}\times 11+\frac{3}{19}\times 117\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{19}\\\frac{307}{19}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

3x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 11,3\times 4x+3\times 9y=3\times 117$$

Гадиләштерегез.

$$12x+8y=44,12x+27y=351$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12x+27y=351'ны 12x+8y=44'нан алыгыз.

$$12x-12x+8y-27y=44-351$$

12x'ны -12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12x һәм -12x шартлар кыскартылган.

$$8y-27y=44-351$$

8y'ны -27y'га өстәгез.

$$-19y=44-351$$

44'ны -351'га өстәгез.

$$-19y=-307$$

Ике якны -19-га бүлегез.

$$y=\frac{307}{19}$$

\frac{307}{19}'ны y өчен 4x+9y=117'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+9\times \frac{307}{19}=117$$

9'ны \frac{307}{19} тапкыр тапкырлагыз.

$$4x+\frac{2763}{19}=117$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{2763}{19} алыгыз.

$$4x=-\frac{540}{19}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=-\frac{135}{19}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$