{l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-3$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+10y=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10y алыгыз.

$$3x=-10y+11$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

\frac{1}{3}'ны -10y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-10y+11}{3} куегыз, -10x-8y=14.

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

-10'ны \frac{-10y+11}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

\frac{100y}{3}'ны -8y'га өстәгез.

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{110}{3} өстәгез.

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{76}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

-\frac{10}{3}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{11}{3}'ны -\frac{20}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-3,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-3,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

3x һәм -10x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -10'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

Гадиләштерегез.

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -30x-24y=42'ны -30x-100y=-110'нан алыгыз.

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

-30x'ны 30x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -30x һәм 30x шартлар кыскартылган.

$$-100y+24y=-110-42$$

-100y'ны 24y'га өстәгез.

$$-76y=-110-42$$

-110'ны -42'га өстәгез.

$$-76y=-152$$

Ике якны -76-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен -10x-8y=14'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-10x-8\times 2=14$$

-8'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$-10x-16=14$$

Тигезләмәнең ике ягына 16 өстәгез.

$$-10x=30$$

Ике якны -10-га бүлегез.

$$x=-3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-3,y=2$$