{l}{3u+z=15}{u+2z=10} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

u, z өчен чишелеш

$$z=3$$

$$u=4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, u'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, u өчен чишегез.

$$3u+z=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан z алыгыз.

$$3u=-z+15$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

\frac{1}{3}'ны -z+15 тапкыр тапкырлагыз.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

Башка тигезләмәдә u урынына -\frac{z}{3}+5 куегыз, u+2z=10.

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

-\frac{z}{3}'ны 2z'га өстәгез.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5 алыгыз.

$$\frac{5}{3}z=5$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{5}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$z=3$$

3'ны z өчен u=-\frac{1}{3}z+5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры u өчен чишә аласыз.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

-\frac{1}{3}'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$u=-1+5$$

5'ны -1'га өстәгез.

$$u=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$u=4,z=3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

u һәм z матрица элементларын чыгартыгыз.

$$u=4,z=3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

3u һәм u тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 3u+6z=30'ны 3u+z=15'нан алыгыз.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

3u'ны -3u'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 3u һәм -3u шартлар кыскартылган.

$$z-6z=15-30$$

z'ны -6z'га өстәгез.

$$-5z=15-30$$

15'ны -30'га өстәгез.

$$-5z=-15$$

Ике якны -5-га бүлегез.

$$z=3$$

3'ны z өчен u+2z=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры u өчен чишә аласыз.

$$u+2\times 3=10$$

2'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$u+6=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 6 алыгыз.

$$u=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$u=4,z=3$$