{l}{22x+y=50}{27x-y=96} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$22x+y=50$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$22x=-y+50$$

Ике якны 22-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

\frac{1}{22}'ны -y+50 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} куегыз, 27x-y=96.

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

27'ны -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

-\frac{27y}{22}'ны -y'га өстәгез.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{675}{11} алыгыз.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{49}{22} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{762}{49}$$

-\frac{762}{49}'ны y өчен x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{22}'ны -\frac{762}{49} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{25}{11}'ны \frac{381}{539}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{146}{49}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

22x һәм 27x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 27'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 22'га тапкырлагыз.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

Гадиләштерегез.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 594x-22y=2112'ны 594x+27y=1350'нан алыгыз.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

594x'ны -594x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 594x һәм -594x шартлар кыскартылган.

$$27y+22y=1350-2112$$

27y'ны 22y'га өстәгез.

$$49y=1350-2112$$

1350'ны -2112'га өстәгез.

$$49y=-762$$

Ике якны 49-га бүлегез.

$$y=-\frac{762}{49}$$

-\frac{762}{49}'ны y өчен 27x-y=96'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{762}{49} алыгыз.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

Ике якны 27-га бүлегез.

$$x=\frac{146}{49}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$