{l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 өчен чишелеш

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x_{1}'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x_{1} өчен чишегез.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3x_{2} алыгыз.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3x_{2}+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Башка тигезләмәдә x_{1} урынына \frac{-3x_{2}+7}{2} куегыз, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

4'ны \frac{-3x_{2}+7}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-6x_{2}'ны -4x_{2}'га өстәгез.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 14 алыгыз.

$$-10x_{2}=-20$$

Ике якны -10-га бүлегез.

$$x_{2}=2$$

2'ны x_{2} өчен x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x_{1} өчен чишә аласыз.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

\frac{7}{2}'ны -3'га өстәгез.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

x_{1} һәм x_{2} матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} һәм 4x_{1} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Гадиләштерегез.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x_{1}-8x_{2}=-12'ны 8x_{1}+12x_{2}=28'нан алыгыз.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{1}'ны -8x_{1}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x_{1} һәм -8x_{1} шартлар кыскартылган.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

12x_{2}'ны 8x_{2}'га өстәгез.

$$20x_{2}=28+12$$

28'ны 12'га өстәгез.

$$20x_{2}=40$$

Ике якны 20-га бүлегез.

$$x_{2}=2$$

2'ны x_{2} өчен 4x_{1}-4x_{2}=-6'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x_{1} өчен чишә аласыз.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

-4'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$4x_{1}-8=-6$$

Тигезләмәнең ике ягына 8 өстәгез.

$$4x_{1}=2$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$