{l}{2x-y=1}{x+y=4} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 1 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x-y=1,x+y=4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x-y=1$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$2x=y+1$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)$$

\frac{1}{2}'ны y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{1+y}{2} куегыз, x+y=4.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

\frac{y}{2}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1}{2} алыгыз.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{3}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{7}{3}$$

\frac{7}{3}'ны y өчен x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{2}'ны \frac{7}{3} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{7}{6}+\frac{1}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{2}'ны \frac{7}{6}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{5}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x-y=1,x+y=4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x-y=1,x+y=4$$

2x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$2x-y=1,2x+2y=2\times 4$$

Гадиләштерегез.

$$2x-y=1,2x+2y=8$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x+2y=8'ны 2x-y=1'нан алыгыз.

$$2x-2x-y-2y=1-8$$

2x'ны -2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2x һәм -2x шартлар кыскартылган.

$$-y-2y=1-8$$

-y'ны -2y'га өстәгез.

$$-3y=1-8$$

1'ны -8'га өстәгез.

$$-3y=-7$$

Ике якны -3-га бүлегез.

$$y=\frac{7}{3}$$

\frac{7}{3}'ны y өчен x+y=4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+\frac{7}{3}=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{7}{3} алыгыз.

$$x=\frac{5}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$