{l}{2x-5y=10}{4x+y=15} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{85}{22} = 3\frac{19}{22} \approx 3.863636364$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x-5y=10$$

Тигезләмәнең ике ягына 5y өстәгез.

$$2x=5y+10$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{2}'ны 10+5y тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

Башка тигезләмәдә x урынына 5+\frac{5y}{2} куегыз, 4x+y=15.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=15$$

4'ны 5+\frac{5y}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$10y+20+y=15$$

10y'ны y'га өстәгез.

$$11y+20=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 20 алыгыз.

$$11y=-5$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$y=-\frac{5}{11}$$

-\frac{5}{11}'ны y өчен x=\frac{5}{2}y+5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+5$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{5}{2}'ны -\frac{5}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{25}{22}+5$$

5'ны -\frac{25}{22}'га өстәгез.

$$x=\frac{85}{22}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 15\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

2x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 15$$

Гадиләштерегез.

$$8x-20y=40,8x+2y=30$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x+2y=30'ны 8x-20y=40'нан алыгыз.

$$8x-8x-20y-2y=40-30$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$-20y-2y=40-30$$

-20y'ны -2y'га өстәгез.

$$-22y=40-30$$

40'ны -30'га өстәгез.

$$-22y=10$$

Ике якны -22-га бүлегез.

$$y=-\frac{5}{11}$$

-\frac{5}{11}'ны y өчен 4x+y=15'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x-\frac{5}{11}=15$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{5}{11} өстәгез.

$$4x=\frac{170}{11}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{85}{22}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$