{l}{2x+y=4}{x+3y=8} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+y=4,x+3y=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+y=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$2x=-y+4$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

\frac{1}{2}'ны -y+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{y}{2}+2 куегыз, x+3y=8.

$$-\frac{1}{2}y+2+3y=8$$

-\frac{y}{2}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{5}{2}y+2=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2 алыгыз.

$$\frac{5}{2}y=6$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{5}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{12}{5}$$

\frac{12}{5}'ны y өчен x=-\frac{1}{2}y+2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{12}{5}+2$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{2}'ны \frac{12}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{6}{5}+2$$

2'ны -\frac{6}{5}'га өстәгез.

$$x=\frac{4}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{12}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+y=4,x+3y=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-1}&-\frac{1}{2\times 3-1}\\-\frac{1}{2\times 3-1}&\frac{2}{2\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{12}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+y=4,x+3y=8$$

2x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$2x+y=4,2x+2\times 3y=2\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$2x+y=4,2x+6y=16$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x+6y=16'ны 2x+y=4'нан алыгыз.

$$2x-2x+y-6y=4-16$$

2x'ны -2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2x һәм -2x шартлар кыскартылган.

$$y-6y=4-16$$

y'ны -6y'га өстәгез.

$$-5y=4-16$$

4'ны -16'га өстәгез.

$$-5y=-12$$

Ике якны -5-га бүлегез.

$$y=\frac{12}{5}$$

\frac{12}{5}'ны y өчен x+3y=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+3\times \frac{12}{5}=8$$

3'ны \frac{12}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$x+\frac{36}{5}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{36}{5} алыгыз.

$$x=\frac{4}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{12}{5}$$