{l}{2x+8y=20}{x+y=4} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 20 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+8y=20,x+y=4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+8y=20$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8y алыгыз.

$$2x=-8y+20$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+20\right)$$

\frac{1}{2}'ны -8y+20 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-4y+10$$

Башка тигезләмәдә x урынына -4y+10 куегыз, x+y=4.

$$-4y+10+y=4$$

-4y'ны y'га өстәгез.

$$-3y+10=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10 алыгыз.

$$-3y=-6$$

Ике якны -3-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=-4y+10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-4\times 2+10$$

-4'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-8+10$$

10'ны -8'га өстәгез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+8y=20,x+y=4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&8\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-8}&-\frac{8}{2-8}\\-\frac{1}{2-8}&\frac{2}{2-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{4}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 20+\frac{4}{3}\times 4\\\frac{1}{6}\times 20-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+8y=20,x+y=4$$

2x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$2x+8y=20,2x+2y=2\times 4$$

Гадиләштерегез.

$$2x+8y=20,2x+2y=8$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x+2y=8'ны 2x+8y=20'нан алыгыз.

$$2x-2x+8y-2y=20-8$$

2x'ны -2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2x һәм -2x шартлар кыскартылган.

$$8y-2y=20-8$$

8y'ны -2y'га өстәгез.

$$6y=20-8$$

20'ны -8'га өстәгез.

$$6y=12$$

Ике якны 6-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x+y=4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+2=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2 алыгыз.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=2$$