{l}{2x+7y=5}{3x+6y=20} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 5 } \\ { 3 x + 6 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{110}{9} = 12\frac{2}{9} \approx 12.222222222$$

$$y = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2.777777778$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+7y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7y алыгыз.

$$2x=-7y+5$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+5\right)$$

\frac{1}{2}'ны -7y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-7y+5}{2} куегыз, 3x+6y=20.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=20$$

3'ны \frac{-7y+5}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{15}{2}+6y=20$$

-\frac{21y}{2}'ны 6y'га өстәгез.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}=20$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{15}{2} алыгыз.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{25}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{9}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{25}{9}$$

-\frac{25}{9}'ны y өчен x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{25}{9}\right)+\frac{5}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{7}{2}'ны -\frac{25}{9} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{175}{18}+\frac{5}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{2}'ны \frac{175}{18}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{110}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-7\times 3}&-\frac{7}{2\times 6-7\times 3}\\-\frac{3}{2\times 6-7\times 3}&\frac{2}{2\times 6-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{7}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 5+\frac{7}{9}\times 20\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{9}\\-\frac{25}{9}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 5,2\times 3x+2\times 6y=2\times 20$$

Гадиләштерегез.

$$6x+21y=15,6x+12y=40$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+12y=40'ны 6x+21y=15'нан алыгыз.

$$6x-6x+21y-12y=15-40$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$21y-12y=15-40$$

21y'ны -12y'га өстәгез.

$$9y=15-40$$

15'ны -40'га өстәгез.

$$9y=-25$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$y=-\frac{25}{9}$$

-\frac{25}{9}'ны y өчен 3x+6y=20'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+6\left(-\frac{25}{9}\right)=20$$

6'ны -\frac{25}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-\frac{50}{3}=20$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{50}{3} өстәгез.

$$3x=\frac{110}{3}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{110}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$