{l}{2x+5y=3}{3x-2y=-5} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 3 } \\ { 3 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-1$$

$$y=1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+5y=3,3x-2y=-5$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+5y=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$2x=-5y+3$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+3\right)$$

\frac{1}{2}'ны -5y+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-5y+3}{2} куегыз, 3x-2y=-5.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}\right)-2y=-5$$

3'ны \frac{-5y+3}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{9}{2}-2y=-5$$

-\frac{15y}{2}'ны -2y'га өстәгез.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{9}{2}=-5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{9}{2} алыгыз.

$$-\frac{19}{2}y=-\frac{19}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{19}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{-5+3}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{3}{2}'ны -\frac{5}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-1,y=1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+5y=3,3x-2y=-5$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 3+\frac{5}{19}\left(-5\right)\\\frac{3}{19}\times 3-\frac{2}{19}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-1,y=1$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+5y=3,3x-2y=-5$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-5\right)$$

Гадиләштерегез.

$$6x+15y=9,6x-4y=-10$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x-4y=-10'ны 6x+15y=9'нан алыгыз.

$$6x-6x+15y+4y=9+10$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$15y+4y=9+10$$

15y'ны 4y'га өстәгез.

$$19y=9+10$$

9'ны 10'га өстәгез.

$$19y=19$$

Ике якны 19-га бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен 3x-2y=-5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x-2=-5$$

Тигезләмәнең ике ягына 2 өстәгез.

$$3x=-3$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=-1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-1,y=1$$