{l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+5y=259$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$2x=-5y+259$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

\frac{1}{2}'ны -5y+259 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-5y+259}{2} куегыз, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

199'ны \frac{-5y+259}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

-\frac{995y}{2}'ны -2y'га өстәгез.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{51541}{2} алыгыз.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{999}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{16429}{333}$$

\frac{16429}{333}'ны y өчен x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{5}{2}'ны \frac{16429}{333} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{259}{2}'ны -\frac{82145}{666}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x һәм 199x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 199'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Гадиләштерегез.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 398x-4y=2254'ны 398x+995y=51541'нан алыгыз.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

398x'ны -398x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 398x һәм -398x шартлар кыскартылган.

$$995y+4y=51541-2254$$

995y'ны 4y'га өстәгез.

$$999y=51541-2254$$

51541'ны -2254'га өстәгез.

$$999y=49287$$

Ике якны 999-га бүлегез.

$$y=\frac{16429}{333}$$

\frac{16429}{333}'ны y өчен 199x-2y=1127'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

-2'ны \frac{16429}{333} тапкыр тапкырлагыз.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{32858}{333} өстәгез.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Ике якны 199-га бүлегез.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$