{l}{2x+5y=20}{3x-2y=11} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 20 } \\ { 3 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=5$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+5y=20$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$2x=-5y+20$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+20\right)$$

\frac{1}{2}'ны -5y+20 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{2}y+10$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{5y}{2}+10 куегыз, 3x-2y=11.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+10\right)-2y=11$$

3'ны -\frac{5y}{2}+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{15}{2}y+30-2y=11$$

-\frac{15y}{2}'ны -2y'га өстәгез.

$$-\frac{19}{2}y+30=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 30 алыгыз.

$$-\frac{19}{2}y=-19$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{19}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=-\frac{5}{2}y+10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times 2+10$$

-\frac{5}{2}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-5+10$$

10'ны -5'га өстәгез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 20+\frac{5}{19}\times 11\\\frac{3}{19}\times 20-\frac{2}{19}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=5,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 20,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 11$$

Гадиләштерегез.

$$6x+15y=60,6x-4y=22$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x-4y=22'ны 6x+15y=60'нан алыгыз.

$$6x-6x+15y+4y=60-22$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$15y+4y=60-22$$

15y'ны 4y'га өстәгез.

$$19y=60-22$$

60'ны -22'га өстәгез.

$$19y=38$$

Ике якны 19-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен 3x-2y=11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x-2\times 2=11$$

-2'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-4=11$$

Тигезләмәнең ике ягына 4 өстәгез.

$$3x=15$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=2$$