{l}{2x+3y=8}{x-y=10} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { x - y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{38}{5} = 7\frac{3}{5} = 7.6$$

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2.4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=8,x-y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+8$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{2}+4 куегыз, x-y=10.

$$-\frac{3}{2}y+4-y=10$$

-\frac{3y}{2}'ны -y'га өстәгез.

$$-\frac{5}{2}y+4=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4 алыгыз.

$$-\frac{5}{2}y=6$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{5}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{12}{5}$$

-\frac{12}{5}'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{12}{5}\right)+4$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{2}'ны -\frac{12}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{18}{5}+4$$

4'ны \frac{18}{5}'га өстәгез.

$$x=\frac{38}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{38}{5},y=-\frac{12}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=8,x-y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 10\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{5}\\-\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{38}{5},y=-\frac{12}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=8,x-y=10$$

2x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$2x+3y=8,2x+2\left(-1\right)y=2\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$2x+3y=8,2x-2y=20$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x-2y=20'ны 2x+3y=8'нан алыгыз.

$$2x-2x+3y+2y=8-20$$

2x'ны -2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2x һәм -2x шартлар кыскартылган.

$$3y+2y=8-20$$

3y'ны 2y'га өстәгез.

$$5y=8-20$$

8'ны -20'га өстәгез.

$$5y=-12$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$y=-\frac{12}{5}$$

-\frac{12}{5}'ны y өчен x-y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x-\left(-\frac{12}{5}\right)=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{12}{5} алыгыз.

$$x=\frac{38}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{38}{5},y=-\frac{12}{5}$$