{l}{2x+3y=8}{6x-3y=10} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+8$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{2}+4 куегыз, 6x-3y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+4\right)-3y=10$$

6'ны -\frac{3y}{2}+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$-9y+24-3y=10$$

-9y'ны -3y'га өстәгез.

$$-12y+24=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 24 алыгыз.

$$-12y=-14$$

Ике якны -12-га бүлегез.

$$y=\frac{7}{6}$$

\frac{7}{6}'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{6}+4$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{2}'ны \frac{7}{6} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{7}{4}+4$$

4'ны -\frac{7}{4}'га өстәгез.

$$x=\frac{9}{4}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)2\times 2 матрица өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{8}\times 10\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

2x һәм 6x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 6'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 8,2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$12x+18y=48,12x-6y=20$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12x-6y=20'ны 12x+18y=48'нан алыгыз.

$$12x-12x+18y+6y=48-20$$

12x'ны -12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12x һәм -12x шартлар кыскартылган.

$$18y+6y=48-20$$

18y'ны 6y'га өстәгез.

$$24y=48-20$$

48'ны -20'га өстәгез.

$$24y=28$$

Ике якны 24-га бүлегез.

$$y=\frac{7}{6}$$

\frac{7}{6}'ны y өчен 6x-3y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$6x-3\times \frac{7}{6}=10$$

-3'ны \frac{7}{6} тапкыр тапкырлагыз.

$$6x-\frac{7}{2}=10$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{7}{2} өстәгез.

$$6x=\frac{27}{2}$$

Ике якны 6-га бүлегез.

$$x=\frac{9}{4}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$