{l}{2x+3y=7}{4x+5y=10} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 4 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y=4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=7,4x+5y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+7$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+7}{2} куегыз, 4x+5y=10.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+5y=10$$

4'ны \frac{-3y+7}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-6y+14+5y=10$$

-6y'ны 5y'га өстәгез.

$$-y+14=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 14 алыгыз.

$$-y=-4$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 4+\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2}'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-6+\frac{7}{2}$$

\frac{7}{2}'ны -6'га өстәгез.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{5}{2},y=4$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=7,4x+5y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 7+\frac{3}{2}\times 10\\2\times 7-10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\4\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{5}{2},y=4$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=7,4x+5y=10$$

2x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 7,2\times 4x+2\times 5y=2\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$8x+12y=28,8x+10y=20$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x+10y=20'ны 8x+12y=28'нан алыгыз.

$$8x-8x+12y-10y=28-20$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$12y-10y=28-20$$

12y'ны -10y'га өстәгез.

$$2y=28-20$$

28'ны -20'га өстәгез.

$$2y=8$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен 4x+5y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+5\times 4=10$$

5'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$4x+20=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 20 алыгыз.

$$4x=-10$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{5}{2},y=4$$