{l}{2x+3y=6}{4x+5y=10} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 4 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=0$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+6$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+6 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{2}+3 куегыз, 4x+5y=10.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+5y=10$$

4'ны -\frac{3y}{2}+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$-6y+12+5y=10$$

-6y'ны 5y'га өстәгез.

$$-y+12=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 12 алыгыз.

$$-y=-2$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+3$$

-\frac{3}{2}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-3+3$$

3'ны -3'га өстәгез.

$$x=0$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=0,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 10\\2\times 6-10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=0,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

2x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 6,2\times 4x+2\times 5y=2\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$8x+12y=24,8x+10y=20$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x+10y=20'ны 8x+12y=24'нан алыгыз.

$$8x-8x+12y-10y=24-20$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$12y-10y=24-20$$

12y'ны -10y'га өстәгез.

$$2y=24-20$$

24'ны -20'га өстәгез.

$$2y=4$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен 4x+5y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+5\times 2=10$$

5'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$4x+10=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10 алыгыз.

$$4x=0$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=0$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=0,y=2$$