{l}{2x+3y=57}{3x-5y=81/2} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 57 } \\ { 3 x - 5 y = 8 \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{621}{38} = 16\frac{13}{38} \approx 16.342105263$$

$$y = \frac{154}{19} = 8\frac{2}{19} \approx 8.105263158$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=57$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+57$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+57\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+57 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+57}{2} куегыз, 3x-5y=\frac{17}{2}.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}\right)-5y=\frac{17}{2}$$

3'ны \frac{-3y+57}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{171}{2}-5y=\frac{17}{2}$$

-\frac{9y}{2}'ны -5y'га өстәгез.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{171}{2}=\frac{17}{2}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{171}{2} алыгыз.

$$-\frac{19}{2}y=-77$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{19}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{154}{19}$$

\frac{154}{19}'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{154}{19}+\frac{57}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{2}'ны \frac{154}{19} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{231}{19}+\frac{57}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{57}{2}'ны -\frac{231}{19}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{621}{38}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 57+\frac{3}{19}\times \frac{17}{2}\\\frac{3}{19}\times 57-\frac{2}{19}\times \frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{621}{38}\\\frac{154}{19}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 57,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times \frac{17}{2}$$

Гадиләштерегез.

$$6x+9y=171,6x-10y=17$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x-10y=17'ны 6x+9y=171'нан алыгыз.

$$6x-6x+9y+10y=171-17$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$9y+10y=171-17$$

9y'ны 10y'га өстәгез.

$$19y=171-17$$

171'ны -17'га өстәгез.

$$19y=154$$

Ике якны 19-га бүлегез.

$$y=\frac{154}{19}$$

\frac{154}{19}'ны y өчен 3x-5y=\frac{17}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x-5\times \frac{154}{19}=\frac{17}{2}$$

-5'ны \frac{154}{19} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-\frac{770}{19}=\frac{17}{2}$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{770}{19} өстәгез.

$$3x=\frac{1863}{38}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{621}{38}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$