{l}{2x+3y=5}{7x=4y-4} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{8}{29}\approx 0.275862069$$

$$y = \frac{43}{29} = 1\frac{14}{29} \approx 1.482758621$$

Алыштыруны куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 4y'ны ике яктан алыгыз.

$$7x-4y=-4$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=5,7x-4y=-4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+5$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+5}{2} куегыз, 7x-4y=-4.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-4$$

7'ны \frac{-3y+5}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-4$$

-\frac{21y}{2}'ны -4y'га өстәгез.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{35}{2} алыгыз.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{43}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{29}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{43}{29}$$

\frac{43}{29}'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{43}{29}+\frac{5}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{2}'ны \frac{43}{29} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{129}{58}+\frac{5}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{2}'ны -\frac{129}{58}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{8}{29}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{8}{29},y=\frac{43}{29}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 4y'ны ике яктан алыгыз.

$$7x-4y=-4$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=5,7x-4y=-4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-4\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{29}\\\frac{43}{29}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{8}{29},y=\frac{43}{29}$$

Бетерүне куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 4y'ны ике яктан алыгыз.

$$7x-4y=-4$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=5,7x-4y=-4$$

2x һәм 7x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-4\right)$$

Гадиләштерегез.

$$14x+21y=35,14x-8y=-8$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 14x-8y=-8'ны 14x+21y=35'нан алыгыз.

$$14x-14x+21y+8y=35+8$$

14x'ны -14x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 14x һәм -14x шартлар кыскартылган.

$$21y+8y=35+8$$

21y'ны 8y'га өстәгез.

$$29y=35+8$$

35'ны 8'га өстәгез.

$$29y=43$$

Ике якны 29-га бүлегез.

$$y=\frac{43}{29}$$

\frac{43}{29}'ны y өчен 7x-4y=-4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$7x-4\times \frac{43}{29}=-4$$

-4'ны \frac{43}{29} тапкыр тапкырлагыз.

$$7x-\frac{172}{29}=-4$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{172}{29} өстәгез.

$$7x=\frac{56}{29}$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{8}{29}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{8}{29},y=\frac{43}{29}$$