{l}{2x+3y=5}{3x+12y=70} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 12 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-10$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+5$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+5}{2} куегыз, 3x+12y=70.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+12y=70$$

3'ны \frac{-3y+5}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+12y=70$$

-\frac{9y}{2}'ны 12y'га өстәгез.

$$\frac{15}{2}y+\frac{15}{2}=70$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{15}{2} алыгыз.

$$\frac{15}{2}y=\frac{125}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{15}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{25}{3}$$

\frac{25}{3}'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{25}{3}+\frac{5}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{2}'ны \frac{25}{3} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{-25+5}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{2}'ны -\frac{25}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-10$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{2\times 12-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}&\frac{2}{2\times 12-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{15}\times 70\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 12y=2\times 70$$

Гадиләштерегез.

$$6x+9y=15,6x+24y=140$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+24y=140'ны 6x+9y=15'нан алыгыз.

$$6x-6x+9y-24y=15-140$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$9y-24y=15-140$$

9y'ны -24y'га өстәгез.

$$-15y=15-140$$

15'ны -140'га өстәгез.

$$-15y=-125$$

Ике якны -15-га бүлегез.

$$y=\frac{25}{3}$$

\frac{25}{3}'ны y өчен 3x+12y=70'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+12\times \frac{25}{3}=70$$

12'ны \frac{25}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+100=70$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 100 алыгыз.

$$3x=-30$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=-10$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$