{l}{2x+3y=2}{5y+2x=1} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 5 y + 2 x = 1 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+2$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{2}+1 куегыз, 2x+5y=1.

$$2\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+5y=1$$

2'ны -\frac{3y}{2}+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$-3y+2+5y=1$$

-3y'ны 5y'га өстәгез.

$$2y+2=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2 алыгыз.

$$2y=-1$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{2}$$

-\frac{1}{2}'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{2}'ны -\frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{3}{4}+1$$

1'ны \frac{3}{4}'га өстәгез.

$$x=\frac{7}{4}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 2-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x+5y=1'ны 2x+3y=2'нан алыгыз.

$$2x-2x+3y-5y=2-1$$

2x'ны -2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2x һәм -2x шартлар кыскартылган.

$$3y-5y=2-1$$

3y'ны -5y'га өстәгез.

$$-2y=2-1$$

2'ны -1'га өстәгез.

$$-2y=1$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{2}$$

-\frac{1}{2}'ны y өчен 2x+5y=1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+5\left(-\frac{1}{2}\right)=1$$

5'ны -\frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x-\frac{5}{2}=1$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{5}{2} өстәгез.

$$2x=\frac{7}{2}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{7}{4}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$