{l}{2x+3y=2}{4x+16y=3} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x + 16 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} = 1.15$$

$$y=-\frac{1}{10}=-0.1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+2$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{2}+1 куегыз, 4x+16y=3.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+16y=3$$

4'ны -\frac{3y}{2}+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$-6y+4+16y=3$$

-6y'ны 16y'га өстәгез.

$$10y+4=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4 алыгыз.

$$10y=-1$$

Ике якны 10-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{10}$$

-\frac{1}{10}'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{10}\right)+1$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{2}'ны -\frac{1}{10} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{3}{20}+1$$

1'ны \frac{3}{20}'га өстәгез.

$$x=\frac{23}{20}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{2\times 16-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 16-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 16-3\times 4}&\frac{2}{2\times 16-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 2-\frac{3}{20}\times 3\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{20}\\-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

2x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\times 16y=2\times 3$$

Гадиләштерегез.

$$8x+12y=8,8x+32y=6$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x+32y=6'ны 8x+12y=8'нан алыгыз.

$$8x-8x+12y-32y=8-6$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$12y-32y=8-6$$

12y'ны -32y'га өстәгез.

$$-20y=8-6$$

8'ны -6'га өстәгез.

$$-20y=2$$

Ике якны -20-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{10}$$

-\frac{1}{10}'ны y өчен 4x+16y=3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+16\left(-\frac{1}{10}\right)=3$$

16'ны -\frac{1}{10} тапкыр тапкырлагыз.

$$4x-\frac{8}{5}=3$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{8}{5} өстәгез.

$$4x=\frac{23}{5}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{23}{20}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$