{l}{2x+3y=10}{4x+5y=42} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=38$$

$$y=-22$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+10$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{2}+5 куегыз, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

4'ны -\frac{3y}{2}+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$-6y+20+5y=42$$

-6y'ны 5y'га өстәгез.

$$-y+20=42$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 20 алыгыз.

$$-y=22$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$y=-22$$

-22'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

-\frac{3}{2}'ны -22 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=33+5$$

5'ны 33'га өстәгез.

$$x=38$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=38,y=-22$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=38,y=-22$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

2x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Гадиләштерегез.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x+10y=84'ны 8x+12y=40'нан алыгыз.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$12y-10y=40-84$$

12y'ны -10y'га өстәгез.

$$2y=40-84$$

40'ны -84'га өстәгез.

$$2y=-44$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=-22$$

-22'ны y өчен 4x+5y=42'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

5'ны -22 тапкыр тапкырлагыз.

$$4x-110=42$$

Тигезләмәнең ике ягына 110 өстәгез.

$$4x=152$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=38$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=38,y=-22$$