{l}{2m+3n=22}{m-2n=6} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

m, n өчен чишелеш

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, m'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, m өчен чишегез.

$$2m+3n=22$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3n алыгыз.

$$2m=-3n+22$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3n+22 тапкыр тапкырлагыз.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

Башка тигезләмәдә m урынына -\frac{3n}{2}+11 куегыз, m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

-\frac{3n}{2}'ны -2n'га өстәгез.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 11 алыгыз.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{7}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$n=\frac{10}{7}$$

\frac{10}{7}'ны n өчен m=-\frac{3}{2}n+11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{2}'ны \frac{10}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

11'ны -\frac{15}{7}'га өстәгез.

$$m=\frac{62}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

m һәм n матрица элементларын чыгартыгыз.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

2m һәм m тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

Гадиләштерегез.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2m-4n=12'ны 2m+3n=22'нан алыгыз.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

2m'ны -2m'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2m һәм -2m шартлар кыскартылган.

$$3n+4n=22-12$$

3n'ны 4n'га өстәгез.

$$7n=22-12$$

22'ны -12'га өстәгез.

$$7n=10$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$n=\frac{10}{7}$$

\frac{10}{7}'ны n өчен m-2n=6'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

-2'ны \frac{10}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{20}{7} өстәгез.

$$m=\frac{62}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$