{l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$15x+107y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 107y алыгыз.

$$15x=-107y+1$$

Ике якны 15-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

\frac{1}{15}'ны -107y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-107y+1}{15} куегыз, 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

71'ны \frac{-107y+1}{15} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

-\frac{7597y}{15}'ны 179y'га өстәгез.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{71}{15} алыгыз.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{4912}{15} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{547}{614}$$

\frac{547}{614}'ны y өчен x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{107}{15}'ны \frac{547}{614} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{15}'ны -\frac{58529}{9210}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)2\times 2 матрица өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

15x һәм 71x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 71'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 15'га тапкырлагыз.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

Гадиләштерегез.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 1065x+2685y=-4305'ны 1065x+7597y=71'нан алыгыз.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

1065x'ны -1065x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 1065x һәм -1065x шартлар кыскартылган.

$$7597y-2685y=71+4305$$

7597y'ны -2685y'га өстәгез.

$$4912y=71+4305$$

71'ны 4305'га өстәгез.

$$4912y=4376$$

Ике якны 4912-га бүлегез.

$$y=\frac{547}{614}$$

\frac{547}{614}'ны y өчен 71x+179y=-287'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

179'ны \frac{547}{614} тапкыр тапкырлагыз.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{97913}{614} алыгыз.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

Ике якны 71-га бүлегез.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$