{l}{12x+4y=6}{9x+16y=8} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$12x+4y=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$12x=-4y+6$$

Ике якны 12-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

\frac{1}{12}'ны -4y+6 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} куегыз, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

9'ны -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

-3y'ны 16y'га өстәгез.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{9}{2} алыгыз.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Ике якны 13-га бүлегез.

$$y=\frac{7}{26}$$

\frac{7}{26}'ны y өчен x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{3}'ны \frac{7}{26} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{2}'ны -\frac{7}{78}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{16}{39}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x һәм 9x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 12'га тапкырлагыз.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 108x+192y=96'ны 108x+36y=54'нан алыгыз.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

108x'ны -108x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 108x һәм -108x шартлар кыскартылган.

$$36y-192y=54-96$$

36y'ны -192y'га өстәгез.

$$-156y=54-96$$

54'ны -96'га өстәгез.

$$-156y=-42$$

Ике якны -156-га бүлегез.

$$y=\frac{7}{26}$$

\frac{7}{26}'ны y өчен 9x+16y=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

16'ны \frac{7}{26} тапкыр тапкырлагыз.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{56}{13} алыгыз.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$x=\frac{16}{39}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$