{l}{1x+4y=280}{4x+1y=124} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+4y=280$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$x=-4y+280$$

Башка тигезләмәдә x урынына -4y+280 куегыз, 4x+y=124.

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

4'ны -4y+280 тапкыр тапкырлагыз.

$$-16y+1120+y=124$$

-16y'ны y'га өстәгез.

$$-15y+1120=124$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 1120 алыгыз.

$$-15y=-996$$

Ике якны -15-га бүлегез.

$$y=\frac{332}{5}$$

\frac{332}{5}'ны y өчен x=-4y+280'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

-4'ны \frac{332}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

280'ны -\frac{1328}{5}'га өстәгез.

$$x=\frac{72}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

Гадиләштерегез.

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 4x+y=124'ны 4x+16y=1120'нан алыгыз.

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

4x'ны -4x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 4x һәм -4x шартлар кыскартылган.

$$16y-y=1120-124$$

16y'ны -y'га өстәгез.

$$15y=1120-124$$

1120'ны -124'га өстәгез.

$$15y=996$$

Ике якны 15-га бүлегез.

$$y=\frac{332}{5}$$

\frac{332}{5}'ны y өчен 4x+y=124'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{332}{5} алыгыз.

$$4x=\frac{288}{5}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{72}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$