{l}{-x-5y=11}{2x+y=9} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$-x-5y=11$$

Тигезләмәнең ике ягына 5y өстәгез.

$$-x=5y+11$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$x=-\left(5y+11\right)$$

-1'ны 5y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-5y-11$$

Башка тигезләмәдә x урынына -5y-11 куегыз, 2x+y=9.

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

2'ны -5y-11 тапкыр тапкырлагыз.

$$-10y-22+y=9$$

-10y'ны y'га өстәгез.

$$-9y-22=9$$

Тигезләмәнең ике ягына 22 өстәгез.

$$-9y=31$$

Ике якны -9-га бүлегез.

$$y=-\frac{31}{9}$$

-\frac{31}{9}'ны y өчен x=-5y-11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

-5'ны -\frac{31}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{155}{9}-11$$

-11'ны \frac{155}{9}'га өстәгез.

$$x=\frac{56}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

-x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -1'га тапкырлагыз.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

Гадиләштерегез.

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -2x-y=-9'ны -2x-10y=22'нан алыгыз.

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

-2x'ны 2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -2x һәм 2x шартлар кыскартылган.

$$-10y+y=22+9$$

-10y'ны y'га өстәгез.

$$-9y=22+9$$

22'ны 9'га өстәгез.

$$-9y=31$$

Ике якны -9-га бүлегез.

$$y=-\frac{31}{9}$$

-\frac{31}{9}'ны y өчен 2x+y=9'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{31}{9} өстәгез.

$$2x=\frac{112}{9}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{56}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$