{l}{-7j+4k=43}{-8j-3k=87} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 j + 4 k = 43 } \\ { - 8 j - 3 k = 87 } \end{array} \right.$$

j, k өчен чишелеш

$$j=-9$$

$$k=-5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$-7j+4k=43,-8j-3k=87$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, j'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, j өчен чишегез.

$$-7j+4k=43$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4k алыгыз.

$$-7j=-4k+43$$

Ике якны -7-га бүлегез.

$$j=-\frac{1}{7}\left(-4k+43\right)$$

-\frac{1}{7}'ны -4k+43 тапкыр тапкырлагыз.

$$j=\frac{4}{7}k-\frac{43}{7}$$

Башка тигезләмәдә j урынына \frac{4k-43}{7} куегыз, -8j-3k=87.

$$-8\left(\frac{4}{7}k-\frac{43}{7}\right)-3k=87$$

-8'ны \frac{4k-43}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{32}{7}k+\frac{344}{7}-3k=87$$

-\frac{32k}{7}'ны -3k'га өстәгез.

$$-\frac{53}{7}k+\frac{344}{7}=87$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{344}{7} алыгыз.

$$-\frac{53}{7}k=\frac{265}{7}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{53}{7} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$k=-5$$

-5'ны k өчен j=\frac{4}{7}k-\frac{43}{7}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры j өчен чишә аласыз.

$$j=\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{43}{7}$$

\frac{4}{7}'ны -5 тапкыр тапкырлагыз.

$$j=\frac{-20-43}{7}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{43}{7}'ны -\frac{20}{7}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$j=-9$$

Система хәзер чишелгән.

$$j=-9,k=-5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$-7j+4k=43,-8j-3k=87$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-7\left(-3\right)-4\left(-8\right)}&-\frac{4}{-7\left(-3\right)-4\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-7\left(-3\right)-4\left(-8\right)}&-\frac{7}{-7\left(-3\right)-4\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{53}&-\frac{4}{53}\\\frac{8}{53}&-\frac{7}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{53}\times 43-\frac{4}{53}\times 87\\\frac{8}{53}\times 43-\frac{7}{53}\times 87\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

j һәм k матрица элементларын чыгартыгыз.

$$j=-9,k=-5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$-7j+4k=43,-8j-3k=87$$

-7j һәм -8j тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -8'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -7'га тапкырлагыз.

$$-8\left(-7\right)j-8\times 4k=-8\times 43,-7\left(-8\right)j-7\left(-3\right)k=-7\times 87$$

Гадиләштерегез.

$$56j-32k=-344,56j+21k=-609$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 56j+21k=-609'ны 56j-32k=-344'нан алыгыз.

$$56j-56j-32k-21k=-344+609$$

56j'ны -56j'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 56j һәм -56j шартлар кыскартылган.

$$-32k-21k=-344+609$$

-32k'ны -21k'га өстәгез.

$$-53k=-344+609$$

-344'ны 609'га өстәгез.

$$-53k=265$$

Ике якны -53-га бүлегез.

$$k=-5$$

-5'ны k өчен -8j-3k=87'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры j өчен чишә аласыз.

$$-8j-3\left(-5\right)=87$$

-3'ны -5 тапкыр тапкырлагыз.

$$-8j+15=87$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$-8j=72$$

Ике якны -8-га бүлегез.

$$j=-9$$

Система хәзер чишелгән.

$$j=-9,k=-5$$