{l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$-2x+7y=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7y алыгыз.

$$-2x=-7y+4$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

-\frac{1}{2}'ны -7y+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{7y}{2}-2 куегыз, -4x+3y=2.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

-4'ны \frac{7y}{2}-2 тапкыр тапкырлагыз.

$$-14y+8+3y=2$$

-14y'ны 3y'га өстәгез.

$$-11y+8=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8 алыгыз.

$$-11y=-6$$

Ике якны -11-га бүлегез.

$$y=\frac{6}{11}$$

\frac{6}{11}'ны y өчен x=\frac{7}{2}y-2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{7}{2}'ны \frac{6}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

-2'ны \frac{21}{11}'га өстәгез.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

-2x һәм -4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га тапкырлагыз.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

Гадиләштерегез.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x-6y=-4'ны 8x-28y=-16'нан алыгыз.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$-28y+6y=-16+4$$

-28y'ны 6y'га өстәгез.

$$-22y=-16+4$$

-16'ны 4'га өстәгез.

$$-22y=-12$$

Ике якны -22-га бүлегез.

$$y=\frac{6}{11}$$

\frac{6}{11}'ны y өчен -4x+3y=2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

3'ны \frac{6}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{18}{11} алыгыз.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

Ике якны -4-га бүлегез.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$