{l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=5$$

$$y=7$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. x-2 y+5'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1 y+2'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

xy'ны ике яктан алыгыз.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0 алу өчен, xy һәм -xy берләштерегз.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

2x'ны ике яктан алыгыз.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3x алу өчен, 5x һәм -2x берләштерегз.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Ике як өчен y өстәгез.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-y алу өчен, -2y һәм y берләштерегз.

$$3x-y-10=-2$$

Ике як өчен 10 өстәгез.

$$3x-y=-2+10$$

8 алу өчен, -2 һәм 10 өстәгез.

$$3x-y=8$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. y-3 x+4'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7 y-4'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

xy'ны ике яктан алыгыз.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0 алу өчен, yx һәм -xy берләштерегз.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Ике як өчен 4x өстәгез.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

x алу өчен, -3x һәм 4x берләштерегз.

$$4y+x-12=7y-28$$

7y'ны ике яктан алыгыз.

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3y алу өчен, 4y һәм -7y берләштерегз.

$$-3y+x-12=-28$$

Ике як өчен 12 өстәгез.

$$-3y+x=-28+12$$

-16 алу өчен, -28 һәм 12 өстәгез.

$$-3y+x=-16$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-y=8$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$3x=y+8$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{3}'ны y+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{8+y}{3} куегыз, x-3y=-16.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

\frac{y}{3}'ны -3y'га өстәгез.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{8}{3} алыгыз.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{8}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=7$$

7'ны y өчен x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

\frac{1}{3}'ны 7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{8}{3}'ны \frac{7}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=7$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. x-2 y+5'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1 y+2'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

xy'ны ике яктан алыгыз.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0 алу өчен, xy һәм -xy берләштерегз.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

2x'ны ике яктан алыгыз.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3x алу өчен, 5x һәм -2x берләштерегз.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Ике як өчен y өстәгез.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-y алу өчен, -2y һәм y берләштерегз.

$$3x-y-10=-2$$

Ике як өчен 10 өстәгез.

$$3x-y=-2+10$$

8 алу өчен, -2 һәм 10 өстәгез.

$$3x-y=8$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. y-3 x+4'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7 y-4'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

xy'ны ике яктан алыгыз.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0 алу өчен, yx һәм -xy берләштерегз.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Ике як өчен 4x өстәгез.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

x алу өчен, -3x һәм 4x берләштерегз.

$$4y+x-12=7y-28$$

7y'ны ике яктан алыгыз.

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3y алу өчен, 4y һәм -7y берләштерегз.

$$-3y+x-12=-28$$

Ике як өчен 12 өстәгез.

$$-3y+x=-28+12$$

-16 алу өчен, -28 һәм 12 өстәгез.

$$-3y+x=-16$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=5,y=7$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. x-2 y+5'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1 y+2'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

xy'ны ике яктан алыгыз.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0 алу өчен, xy һәм -xy берләштерегз.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

2x'ны ике яктан алыгыз.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3x алу өчен, 5x һәм -2x берләштерегз.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Ике як өчен y өстәгез.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-y алу өчен, -2y һәм y берләштерегз.

$$3x-y-10=-2$$

Ике як өчен 10 өстәгез.

$$3x-y=-2+10$$

8 алу өчен, -2 һәм 10 өстәгез.

$$3x-y=8$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. y-3 x+4'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7 y-4'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

xy'ны ике яктан алыгыз.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0 алу өчен, yx һәм -xy берләштерегз.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Ике як өчен 4x өстәгез.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

x алу өчен, -3x һәм 4x берләштерегз.

$$4y+x-12=7y-28$$

7y'ны ике яктан алыгыз.

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3y алу өчен, 4y һәм -7y берләштерегз.

$$-3y+x-12=-28$$

Ике як өчен 12 өстәгез.

$$-3y+x=-28+12$$

-16 алу өчен, -28 һәм 12 өстәгез.

$$-3y+x=-16$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

3x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

Гадиләштерегез.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 3x-9y=-48'ны 3x-y=8'нан алыгыз.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

3x'ны -3x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 3x һәм -3x шартлар кыскартылган.

$$-y+9y=8+48$$

-y'ны 9y'га өстәгез.

$$8y=8+48$$

8'ны 48'га өстәгез.

$$8y=56$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$y=7$$

7'ны y өчен x-3y=-16'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x-3\times 7=-16$$

-3'ны 7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x-21=-16$$

Тигезләмәнең ике ягына 21 өстәгез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=7$$