{l}{x/2+y/3=10}{x+y=30} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 10 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=0$$

$$y=30$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{y}{3} алыгыз.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+10$$

Ике якны 2-га тапкырлагыз.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+10\right)$$

2'ны -\frac{y}{3}+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+20$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{2y}{3}+20 куегыз, x+y=30.

$$-\frac{2}{3}y+20+y=30$$

-\frac{2y}{3}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{1}{3}y+20=30$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 20 алыгыз.

$$\frac{1}{3}y=10$$

Ике якны 3-га тапкырлагыз.

$$y=30$$

30'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+20'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times 30+20$$

-\frac{2}{3}'ны 30 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-20+20$$

20'ны -20'га өстәгез.

$$x=0$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=0,y=30$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 10-2\times 30\\-6\times 10+3\times 30\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=0,y=30$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

\frac{x}{2} һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{1}{2}'га тапкырлагыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 30$$

Гадиләштерегез.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15'ны \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10'нан алыгыз.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

\frac{x}{2}'ны -\frac{x}{2}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{x}{2} һәм -\frac{x}{2} шартлар кыскартылган.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

\frac{y}{3}'ны -\frac{y}{2}'га өстәгез.

$$-\frac{1}{6}y=10-15$$

10'ны -15'га өстәгез.

$$-\frac{1}{6}y=-5$$

Ике якны -6-га тапкырлагыз.

$$y=30$$

30'ны y өчен x+y=30'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+30=30$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 30 алыгыз.

$$x=0$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=0,y=30$$