{l}{4/3x-1/3y=16}{3/15y-1/3x=8} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 16 } \\ { \frac { 3 } { 15 } y - \frac { 1 } { 3 } x = 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{264}{7} = 37\frac{5}{7} \approx 37.714285714$$

$$y = \frac{720}{7} = 102\frac{6}{7} \approx 102.857142857$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{y}{3} өстәгез.

$$\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}y+16$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{4}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$x=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}y+16\right)$$

\frac{3}{4}'ны \frac{y}{3}+16 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{4}y+12$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{y}{4}+12 куегыз, -\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8.

$$-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}y+12\right)+\frac{1}{5}y=8$$

-\frac{1}{3}'ны \frac{y}{4}+12 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{12}y-4+\frac{1}{5}y=8$$

-\frac{y}{12}'ны \frac{y}{5}'га өстәгез.

$$\frac{7}{60}y-4=8$$

Тигезләмәнең ике ягына 4 өстәгез.

$$\frac{7}{60}y=12$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{60} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{720}{7}$$

\frac{720}{7}'ны y өчен x=\frac{1}{4}y+12'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{720}{7}+12$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{4}'ны \frac{720}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{180}{7}+12$$

12'ны \frac{180}{7}'га өстәгез.

$$x=\frac{264}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{264}{7},y=\frac{720}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&\frac{60}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\times 16+\frac{15}{7}\times 8\\\frac{15}{7}\times 16+\frac{60}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{264}{7}\\\frac{720}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{264}{7},y=\frac{720}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8$$

\frac{4x}{3} һәм -\frac{x}{3} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -\frac{1}{3}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{4}{3}'га тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{3}\times \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)y=-\frac{1}{3}\times 16,\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}y=\frac{4}{3}\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$-\frac{4}{9}x+\frac{1}{9}y=-\frac{16}{3},-\frac{4}{9}x+\frac{4}{15}y=\frac{32}{3}$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -\frac{4}{9}x+\frac{4}{15}y=\frac{32}{3}'ны -\frac{4}{9}x+\frac{1}{9}y=-\frac{16}{3}'нан алыгыз.

$$-\frac{4}{9}x+\frac{4}{9}x+\frac{1}{9}y-\frac{4}{15}y=\frac{-16-32}{3}$$

-\frac{4x}{9}'ны \frac{4x}{9}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -\frac{4x}{9} һәм \frac{4x}{9} шартлар кыскартылган.

$$\frac{1}{9}y-\frac{4}{15}y=\frac{-16-32}{3}$$

\frac{y}{9}'ны -\frac{4y}{15}'га өстәгез.

$$-\frac{7}{45}y=\frac{-16-32}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{16}{3}'ны -\frac{32}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$-\frac{7}{45}y=-16$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{7}{45} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{720}{7}$$

\frac{720}{7}'ны y өчен -\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{720}{7}=8$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{5}'ны \frac{720}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{144}{7}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{144}{7} алыгыз.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{88}{7}$$

Ике якны -3-га тапкырлагыз.

$$x=\frac{264}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{264}{7},y=\frac{720}{7}$$