{l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике ягын 100 тапкырлагыз.

$$108x+110y=100800$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 10 чыгартып һәм ташлап, \frac{110}{100} өлешен иң түбән буыннарга кадәр киметү.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 чыгартып һәм ташлап, \frac{108}{100} өлешен иң түбән буыннарга кадәр киметү.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$108x+110y=100800$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 110y алыгыз.

$$108x=-110y+100800$$

Ике якны 108-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

\frac{1}{108}'ны -110y+100800 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} куегыз, \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{11}{10}'ны -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

-\frac{121y}{108}'ны \frac{27y}{25}'га өстәгез.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{3080}{3} алыгыз.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{109}{2700} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

-\frac{3600}{109}'ны y өчен x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{55}{54}'ны -\frac{3600}{109} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{2800}{3}'ны \frac{11000}{327}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике ягын 100 тапкырлагыз.

$$108x+110y=100800$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 10 чыгартып һәм ташлап, \frac{110}{100} өлешен иң түбән буыннарга кадәр киметү.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 чыгартып һәм ташлап, \frac{108}{100} өлешен иң түбән буыннарга кадәр киметү.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике ягын 100 тапкырлагыз.

$$108x+110y=100800$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. 10 чыгартып һәм ташлап, \frac{110}{100} өлешен иң түбән буыннарга кадәр киметү.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 чыгартып һәм ташлап, \frac{108}{100} өлешен иң түбән буыннарга кадәр киметү.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

108x һәм \frac{11x}{10} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{11}{10}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 108'га тапкырлагыз.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

Гадиләштерегез.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024'ны \frac{594}{5}x+121y=110880'нан алыгыз.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

\frac{594x}{5}'ны -\frac{594x}{5}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{594x}{5} һәм -\frac{594x}{5} шартлар кыскартылган.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

121y'ны -\frac{2916y}{25}'га өстәгез.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

110880'ны -111024'га өстәгез.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{109}{25} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

-\frac{3600}{109}'ны y өчен \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{27}{25}'ны -\frac{3600}{109} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{3888}{109} өстәгез.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{11}{10} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$