{l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

y, x өчен чишелеш

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, y'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, y өчен чишегез.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

Тигезләмәнең ике ягына x өстәгез.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

Ике якны 5-га тапкырлагыз.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

5'ны x+\frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

Башка тигезләмәдә y урынына 5x+\frac{5}{2} куегыз, -\frac{1}{2}y+3x=10.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

-\frac{1}{2}'ны 5x+\frac{5}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

-\frac{5x}{2}'ны 3x'га өстәгез.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{5}{4} өстәгез.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

Ике якны 2-га тапкырлагыз.

$$x=\frac{45}{2}$$

\frac{45}{2}'ны x өчен y=5x+\frac{5}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

5'ны \frac{45}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{2}'ны \frac{225}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$y=115$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

y һәм x матрица элементларын чыгартыгыз.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

\frac{y}{5} һәм -\frac{y}{2} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -\frac{1}{2}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{1}{5}'га тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2'ны -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}'нан алыгыз.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

-\frac{y}{10}'ны \frac{y}{10}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -\frac{y}{10} һәм \frac{y}{10} шартлар кыскартылган.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

\frac{x}{2}'ны -\frac{3x}{5}'га өстәгез.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

-\frac{1}{4}'ны -2'га өстәгез.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

Ике якны -10-га тапкырлагыз.

$$x=\frac{45}{2}$$

\frac{45}{2}'ны x өчен -\frac{1}{2}y+3x=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

3'ны \frac{45}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{135}{2} алыгыз.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

Ике якны -2-га тапкырлагыз.

$$y=115$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$