{c}{40x+60y=480}{30x+15y=180} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=6$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$40x+60y=480$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 60y алыгыз.

$$40x=-60y+480$$

Ике якны 40-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

\frac{1}{40}'ны -60y+480 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{2}+12 куегыз, 30x+15y=180.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

30'ны -\frac{3y}{2}+12 тапкыр тапкырлагыз.

$$-45y+360+15y=180$$

-45y'ны 15y'га өстәгез.

$$-30y+360=180$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 360 алыгыз.

$$-30y=-180$$

Ике якны -30-га бүлегез.

$$y=6$$

6'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+12'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

-\frac{3}{2}'ны 6 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-9+12$$

12'ны -9'га өстәгез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=6$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=6$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

40x һәм 30x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 30'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 40'га тапкырлагыз.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

Гадиләштерегез.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 1200x+600y=7200'ны 1200x+1800y=14400'нан алыгыз.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

1200x'ны -1200x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 1200x һәм -1200x шартлар кыскартылган.

$$1800y-600y=14400-7200$$

1800y'ны -600y'га өстәгез.

$$1200y=14400-7200$$

14400'ны -7200'га өстәгез.

$$1200y=7200$$

Ике якны 1200-га бүлегез.

$$y=6$$

6'ны y өчен 30x+15y=180'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$30x+15\times 6=180$$

15'ны 6 тапкыр тапкырлагыз.

$$30x+90=180$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 90 алыгыз.

$$30x=90$$

Ике якны 30-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=6$$