{c}{4x+2y=50}{x+y=20} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 50 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=5$$

$$y=15$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+2y=50$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$4x=-2y+50$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+50\right)$$

\frac{1}{4}'ны -2y+50 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+25}{2} куегыз, x+y=20.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}+y=20$$

-\frac{y}{2}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=20$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{25}{2} алыгыз.

$$\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

Ике якны 2-га тапкырлагыз.

$$y=15$$

15'ны y өчен x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{25}{2}$$

-\frac{1}{2}'ны 15 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-15+25}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{25}{2}'ны -\frac{15}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=15$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 50-20\\-\frac{1}{2}\times 50+2\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=5,y=15$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

4x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$4x+2y=50,4x+4y=4\times 20$$

Гадиләштерегез.

$$4x+2y=50,4x+4y=80$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 4x+4y=80'ны 4x+2y=50'нан алыгыз.

$$4x-4x+2y-4y=50-80$$

4x'ны -4x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 4x һәм -4x шартлар кыскартылган.

$$2y-4y=50-80$$

2y'ны -4y'га өстәгез.

$$-2y=50-80$$

50'ны -80'га өстәгез.

$$-2y=-30$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$y=15$$

15'ны y өчен x+y=20'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+15=20$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=15$$