{c}{3x+y=5}{-2x+2y=7} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$3x=-y+5$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{3}'ны -y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+5}{3} куегыз, -2x+2y=7.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

-2'ны \frac{-y+5}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

\frac{2y}{3}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{10}{3} өстәгез.

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{8}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{31}{8}$$

\frac{31}{8}'ны y өчен x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{3}'ны \frac{31}{8} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{3}'ны -\frac{31}{24}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{3}{8}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)2\times 2 матрица өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

3x һәм -2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Гадиләштерегез.

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -6x+6y=21'ны -6x-2y=-10'нан алыгыз.

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

-6x'ны 6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -6x һәм 6x шартлар кыскартылган.

$$-2y-6y=-10-21$$

-2y'ны -6y'га өстәгез.

$$-8y=-10-21$$

-10'ны -21'га өстәгез.

$$-8y=-31$$

Ике якны -8-га бүлегез.

$$y=\frac{31}{8}$$

\frac{31}{8}'ны y өчен -2x+2y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

2'ны \frac{31}{8} тапкыр тапкырлагыз.

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{31}{4} алыгыз.

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=\frac{3}{8}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$