{c}{2x+7y=77}{x-2y=2} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 7 y = 77 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{168}{11} = 15\frac{3}{11} \approx 15.272727273$$

$$y = \frac{73}{11} = 6\frac{7}{11} \approx 6.636363636$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+7y=77$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7y алыгыз.

$$2x=-7y+77$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+77\right)$$

\frac{1}{2}'ны -7y+77 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-7y+77}{2} куегыз, x-2y=2.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}-2y=2$$

-\frac{7y}{2}'ны -2y'га өстәгез.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{77}{2}=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{77}{2} алыгыз.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{11}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{73}{11}$$

\frac{73}{11}'ны y өчен x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{73}{11}+\frac{77}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{7}{2}'ны \frac{73}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{511}{22}+\frac{77}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{77}{2}'ны -\frac{511}{22}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{168}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-7}&-\frac{7}{2\left(-2\right)-7}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-7}&\frac{2}{2\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 77+\frac{7}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 77-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168}{11}\\\frac{73}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

2x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$2x+7y=77,2x+2\left(-2\right)y=2\times 2$$

Гадиләштерегез.

$$2x+7y=77,2x-4y=4$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x-4y=4'ны 2x+7y=77'нан алыгыз.

$$2x-2x+7y+4y=77-4$$

2x'ны -2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2x һәм -2x шартлар кыскартылган.

$$7y+4y=77-4$$

7y'ны 4y'га өстәгез.

$$11y=77-4$$

77'ны -4'га өстәгез.

$$11y=73$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$y=\frac{73}{11}$$

\frac{73}{11}'ны y өчен x-2y=2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x-2\times \frac{73}{11}=2$$

-2'ны \frac{73}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$x-\frac{146}{11}=2$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{146}{11} өстәгез.

$$x=\frac{168}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$