{c}{2x+6y=7}{x-y=4} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 6 y = 7 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

$$y=-\frac{1}{8}=-0.125$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+6y=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 6y алыгыз.

$$2x=-6y+7$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+7\right)$$

\frac{1}{2}'ны -6y+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-3y+\frac{7}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -3y+\frac{7}{2} куегыз, x-y=4.

$$-3y+\frac{7}{2}-y=4$$

-3y'ны -y'га өстәгез.

$$-4y+\frac{7}{2}=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{7}{2} алыгыз.

$$-4y=\frac{1}{2}$$

Ике якны -4-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{8}$$

-\frac{1}{8}'ны y өчен x=-3y+\frac{7}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-3\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{7}{2}$$

-3'ны -\frac{1}{8} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3}{8}+\frac{7}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{7}{2}'ны \frac{3}{8}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{31}{8}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{4}\times 4\\\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{8}\\-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

2x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$2x+6y=7,2x+2\left(-1\right)y=2\times 4$$

Гадиләштерегез.

$$2x+6y=7,2x-2y=8$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x-2y=8'ны 2x+6y=7'нан алыгыз.

$$2x-2x+6y+2y=7-8$$

2x'ны -2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2x һәм -2x шартлар кыскартылган.

$$6y+2y=7-8$$

6y'ны 2y'га өстәгез.

$$8y=7-8$$

7'ны -8'га өстәгез.

$$8y=-1$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{8}$$

-\frac{1}{8}'ны y өчен x-y=4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x-\left(-\frac{1}{8}\right)=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1}{8} алыгыз.

$$x=\frac{31}{8}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$