{c}{2x+5y=5}{8x-y=6} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 5 } \\ { 8 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+5y=5,8x-y=6$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+5y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$2x=-5y+5$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+5\right)$$

\frac{1}{2}'ны -5y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-5y+5}{2} куегыз, 8x-y=6.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}\right)-y=6$$

8'ны \frac{-5y+5}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-20y+20-y=6$$

-20y'ны -y'га өстәгез.

$$-21y+20=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 20 алыгыз.

$$-21y=-14$$

Ике якны -21-га бүлегез.

$$y=\frac{2}{3}$$

\frac{2}{3}'ны y өчен x=-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{2}{3}+\frac{5}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{5}{2}'ны \frac{2}{3} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{5}{3}+\frac{5}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{2}'ны -\frac{5}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{5}{6}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{2}{3}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+5y=5,8x-y=6$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-5\times 8}&-\frac{5}{2\left(-1\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{2\left(-1\right)-5\times 8}&\frac{2}{2\left(-1\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}&\frac{5}{42}\\\frac{4}{21}&-\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}\times 5+\frac{5}{42}\times 6\\\frac{4}{21}\times 5-\frac{1}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{2}{3}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+5y=5,8x-y=6$$

2x һәм 8x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$8\times 2x+8\times 5y=8\times 5,2\times 8x+2\left(-1\right)y=2\times 6$$

Гадиләштерегез.

$$16x+40y=40,16x-2y=12$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 16x-2y=12'ны 16x+40y=40'нан алыгыз.

$$16x-16x+40y+2y=40-12$$

16x'ны -16x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 16x һәм -16x шартлар кыскартылган.

$$40y+2y=40-12$$

40y'ны 2y'га өстәгез.

$$42y=40-12$$

40'ны -12'га өстәгез.

$$42y=28$$

Ике якны 42-га бүлегез.

$$y=\frac{2}{3}$$

\frac{2}{3}'ны y өчен 8x-y=6'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$8x-\frac{2}{3}=6$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{2}{3} өстәгез.

$$8x=\frac{20}{3}$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{5}{6}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{2}{3}$$