{c}{0.9x+0.49y=605}{x+y=1000} хәл итегез

$$\left. \begin{array} { c } { 0.9 x + 0.49 y = 605 } \\ { x + y = 1000 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{11500}{41} = 280\frac{20}{41} \approx 280.487804878$$

$$y = \frac{29500}{41} = 719\frac{21}{41} \approx 719.512195122$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$0.9x+0.49y=605$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{49y}{100} алыгыз.

$$0.9x=-0.49y+605$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган 0.9 тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$x=\frac{10}{9}\left(-0.49y+605\right)$$

\frac{10}{9}'ны -\frac{49y}{100}+605 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{49y}{90}+\frac{6050}{9} куегыз, x+y=1000.

$$-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}+y=1000$$

-\frac{49y}{90}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{41}{90}y+\frac{6050}{9}=1000$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{6050}{9} алыгыз.

$$\frac{41}{90}y=\frac{2950}{9}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{41}{90} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{29500}{41}$$

\frac{29500}{41}'ны y өчен x=-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{49}{90}\times \frac{29500}{41}+\frac{6050}{9}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{49}{90}'ны \frac{29500}{41} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{144550}{369}+\frac{6050}{9}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{6050}{9}'ны -\frac{144550}{369}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{11500}{41}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.9-0.49}&-\frac{0.49}{0.9-0.49}\\-\frac{1}{0.9-0.49}&\frac{0.9}{0.9-0.49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{41}&-\frac{49}{41}\\-\frac{100}{41}&\frac{90}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{41}\times 605-\frac{49}{41}\times 1000\\-\frac{100}{41}\times 605+\frac{90}{41}\times 1000\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11500}{41}\\\frac{29500}{41}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

\frac{9x}{10} һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 0.9'га тапкырлагыз.

$$0.9x+0.49y=605,0.9x+0.9y=0.9\times 1000$$

Гадиләштерегез.

$$0.9x+0.49y=605,0.9x+0.9y=900$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 0.9x+0.9y=900'ны 0.9x+0.49y=605'нан алыгыз.

$$0.9x-0.9x+0.49y-0.9y=605-900$$

\frac{9x}{10}'ны -\frac{9x}{10}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{9x}{10} һәм -\frac{9x}{10} шартлар кыскартылган.

$$0.49y-0.9y=605-900$$

\frac{49y}{100}'ны -\frac{9y}{10}'га өстәгез.

$$-0.41y=605-900$$

605'ны -900'га өстәгез.

$$-0.41y=-295$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -0.41 тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{29500}{41}$$

\frac{29500}{41}'ны y өчен x+y=1000'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+\frac{29500}{41}=1000$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{29500}{41} алыгыз.

$$x=\frac{11500}{41}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$